Согласно распространённой, но не подтверждённой документально версии, Кувыка была основана уже в 1599 году, что делает её одним из старейших населённых пунктов области. О происхождении названия деревни существует ряд разных теорий, некоторые из которых весьма забавны. Одна из них связывает название Кувыка с прозвищем одного из первых местных переселенцев, который кувыркнулся в реку вместе с телегой и лошадью. Похожая версия существует о неком богатом атамане Кувыкине, который поселился в этих местах и раздавал земли крестьянам, помогал бедным и сиротам. Возможно также, что название деревне дали переселенцы из Вятки, где на местном диалекте "кувыка" означает "горе мыкать, горевать", или куряне, которые "кувыкой" называли воду. Наиболее же правдоподобная версия, которая также частично объясняет и необычную дату появления Кувыки, связана с разбойником Кувыковым (Кувыкавым), который на рубеже XVI и XVII веков имел на Идолге свой стан и грабил путников. На этом месте впоследствии разрослась деревня Кувыка, которая впервые была отмечена на карте при генеральном межевании в конце XVIII столетия. Жители Кувыки помимо сельского хозяйства занимались ремёслами, наиболее развитыми из которых были вязание из шерсти, пеньки и ниток чулков, перчаток и варежек, выделка валенок, покраска шерсти и производство кушаков. Продукция в основном расходилась по уездам на рынки и ярмарки, а кушаки и тесьма нередко продавались и вне губернии, в первую очередь калмыкам и киргизам, кочевавшим в Астраханских и Оренбургских пределах. В 1859 году в деревне насчитывалось 117 дворов, 454 мужчины и 467 женщин. Имелись мельница и почтовая станция на Воронежском почтовом тракте из Саратова в Аткарск6. После отмены крепостного права бывшие государственные крестьяне образовали одно общество, административно Кувыка была приписана к Мариинской волости Саратовской губернии. В 1878 году с Кавказа в Саратовский уезд переселили горцев, которые, однако, в 1883 году большей частью вернулись обратно. Несколько оставшихся семей черкесов осели в Кувыке и занимались мелкой торговлей. В конце XIX века в деревне в съёмном доме открылась церковно-приходская школа, приписанная к Никольской церкви Марииновки. Революцию 1905 года местные жители приветствовали и приняли активное участие в крестьянском движении. По данным переписи 1910 года в Кувыке в 277 домохозяйствах проживали 849 мужчин и 933 женщины. Надельной земли было 1010 десятин, купленной – 155, арендованной – 622. Больше половины посевов отводилось под пшеницу, оставшуюся часть засеивали рожью, овсом и в малых количествах просом. Рабочего скота крестьяне держали 457 голов, молочного – 344, гулевого – 356, мелкого – 2794. В хозяйстве использовали 150 железных плугов, 12 жнеек, 50 веялок и две молотилки. В 1912 году в деревне на средства одного из окрестных помещиков был построен мост через Идолгу. 2 (15) ноября 1914 года при церковно-приходской школе освятили алтарь во имя святого Архангела Михаила. При Советской власти Кувыка стала центром одноимённого сельсовета. В конце 1920-х годов была построена просторная по тем временам деревянная семилетняя школа. Великая Отечественная война унесла жизни 107 жителей села. В 1960 году школа была преобразована в начальную и долгое время размещалась в разных приспособленных под занятия помещениях, после чего в 1976 году въехала в новое специально построенное здание с двумя просторными классами и большим коридором. В поздний советский период Кувыка относилась к Октябрьскому сельсовету и была центром колхоза "Заречный". Сегодня село с примерно 600 жителями входит в Октябрьское сельское поселение. Функционируют открытая 14 сентября 1992 года в новом двухэтажном здании неполная средняя школа, фельдшерско-акушерский пункт, коллективное хозяйство "Заречное", магазины, библиотека. В 2004 году в Кувыке построили новые мосты через Идолгу и проложили асфальтированную дорогу. Сельский клуб работал до 2009 года, после чего был закрыт.
В парке в центре села установлен обелиск в память о земляках, павших в боях Великой Отечественной войны.
