Бабушкин родился в 1903 году селе Кутьино Вязьминской волости Петровского уезда Саратовской губернии. В 1925 году его призвали в пограничные войска.
Весной 1924 года на охрану одного из участков границы с Ираном заступил взвод 26-го отдельного пограничного батальона, который впоследствии стал заставой «Артлу-Тазакенд».
В ночь на 18 марта 1926 года на охрану государственной границы выступил наряд, в который входил Андрей Бабушкин и Георгий Шамаев. Пройдя по дозорной тропе, красноармейцы замаскировались на широком валу у излучины Аракса, где бурный поток намыл отмель. По ней нарушители могли перейти через водную преграду, поэтому брод всегда держали под особым контролем. Бандиты не раз пытались пробраться на советскую территорию с целью грабежа местного населения и угона скота.
Перед рассветом наряд услышал позади себя шум. Через некоторое время показалось большая отара овец, которую вели к реке вооружённые люди. Пограничники насчитали не менее 20 человек. Очевидно, нарушители пришли из Ирана, а теперь возвращались с добычей.
Андрей Бабушкин и Георгий Шамаев приняли решение преградить им путь за кордон и задержать. Начался неравный бой. Рассредоточившись по долине, бандиты начали обходить пограничников, которые, укрывшись в складках местности , стреляли по противнику, не давая подойти вплотную. Андрей Бабушкин получил ранение в плечо. Превозмогая боль, он продолжал вести огонь. Вскоре замолчала винтовка Георгия Шамаева — в него тоже попали бандиты. Когда закончились патроны, Андрей Бабушкин приготовил гранаты, но вторая вражеская пуля стала для него смертельной.
На звуки выстрелов с заставы прибыла тревожная группа. Ни одному нарушителю не удалось переправиться через реку.
Весть о подвиге двух пограничников быстро облетела окрестные селения, прошла по всем рубежам нашей страны. 9 апреля 1926 года состоялся приказ №124 Закавказской чрезвычайной комиссии о присвоении имени Андрея Бабушкина пограничной заставе «Артлу-Тазакенд». Она стала первой именной заставой в истории отечественной пограничной службы.
В селе Енгиджа, недалеко от места событий, возвели памятник герою, а его именем назвали одну из средних школ.
В 1993 году Нахичеванский пограничный отряд, в состав которого входила застава, передислоцировался в Республику Дагестан. 4 мая 1995 года имя героя было присвоено заставе «Каспийская» Каспийского пограничного отряда Кавказского особого пограничного округа.
Сегодня это бессмертное имя носит отделение Службы в городе Каспийске Пограничного управления ФСБ России по Республике Дагестан.
В 2021 г. на Аллее героев на проспекте 50 лет Октября в Саратове торжественно открыли бюст героя-пограничника Андрея Бабушкина.
